문서의 임의 삭제는 제재 대상으로, 문서를 삭제하려면 삭제 토론을 진행해야 합니다. 문서 보기문서 삭제토론 대수학의 기본정리 (문단 편집) === 증명 1 === 이를 증명하기 위하여 먼저 '''실계수 방정식은 반드시 짝수개의 켤레복소수의 근을 가진다''' 라는 성질을 증명하고자 한다. >[math(f\left(\mathbf{z}\right)=\displaystyle{\sum^{n}_{k=0}a_{k}x^{k}}=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_{1}x+a_{0})]이 복소수 [math(z=p+qi)]를 근으로 가진다고 하자. >그렇다면 [math(f\left(z\right)=a_{n}z^{n}+a_{n-1}z^{n-1}+\cdots+a_{1}z+a_{0}=0)]이 성립한다. 여기서 다음 켤레복소수의 성질을 이용하자. >[math(\overline{z_1}+\overline{z_2}=\overline{z_1+z_2})] >[math(\overline{z}^{n}=\overline{z^n})] >[math(a\overline{z}=\overline{az})](단 [math(a \in \mathbf{R})])[* 만약 [math(a\in\mathbf{C})]라면 [math(a\overline{z}=\displaystyle{\overline{\overline{a}z}})]가 되어서 이 방법으로의 증명은 성립하지 않게 된다. 실계수 방정식이라는 전제가 있기 때문에 계수를 켤레복소수 밖으로 빼낼 수 있는 것.] >[math(f\left(\overline{z}\right)=a_{n}\overline{z}^{n}+a_{n-1}\overline{z}^{n-1}+\cdots+a_{1}\overline{z}+a_{0}=\overline{a_{n}z^{n}}+\overline{a_{n-1}z^{n-1}}+\cdots+\overline{a_{1}z}+a_{0})] >[math(=\overline{a_{n}z^{n}+a_{n-1}z^{n-1}+\cdots+a_{1}z+a_{0}}=\overline{f\left(z\right)}=\overline{0}=0)] >즉, 복소수 [math(z)]가 [math(f\left(\mathbf{z}\right)=0)]의 한 근이라면, 그 켤레복소수 [math(\overline{z})] 역시 [math(f\left(\mathbf{z}\right)=0)]의 한 근이 된다. 그러므로 복소수근이 존재한다고 하면 켤레복소수 역시 근이 되게 된다. 이제 이 성질을 이용하여, 모든 실계수 홀수차수 방정식이 적어도 1개의 실근을 가진다는 점을 증명하자. >[math(f\left(\mathbf{z}\right)=0)]가 복소근 [math(z=p+qi)]을 근으로 가진다고 하면 [math(\overline{z}=p-qi)]역시 근이 되므로, [math(f\left(\mathbf{z}\right)=0)]는 [math((x-z))]와 [math((x-\overline{z}))]의 두 일차식을 인수로 가지게 된다. >즉, 복소근을 지니게 되면 [math(\left(x-z\right)\left(x-\overline{z}\right)=\left(x-p-qi\right)\left(x-p+qi\right)=\left(x-p\right)^{2}-\left(qi\right)^{2}=\left(x-p\right)^{2}+q^{2}=x^{2}-2px+\left(p^2+q^2\right))]라는 실계수 이차식을 인수로 가지게 된다. 그런데, 바로 위에서 증명했듯이, 켤레복소수 역시 근이 되므로 실질적으로 실계수 홀수(=2k-1)차수 방정식은 최대 짝수개(2k-2)의 켤레복소수의 근을 가지게 된다. 하지만 따름정리 1에서 n차 복소계수 다항식은 복소수 범위에서 중근을 포함하여 n개의 근을 가지게 된다. 즉 2k-1차 방정식의 2k-1개의 근 중에서 최대 2k-2개의 근이 복소근이므로, 적어도 1개의 근은 실근을 가짐은 자명하다.저장 버튼을 클릭하면 당신이 기여한 내용을 CC-BY-NC-SA 2.0 KR으로 배포하고,기여한 문서에 대한 하이퍼링크나 URL을 이용하여 저작자 표시를 하는 것으로 충분하다는 데 동의하는 것입니다.이 동의는 철회할 수 없습니다.캡챠저장미리보기